Gama fonksiyonu matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Г simgesiyle gösterilir.
$$\Gamma(z) = \int_0^\infty , t^{z-1} , e^{-t} dt$$
$$\Gamma(n) = (n-1)!$$ Kompleks düzlemde Analitik devamlılık için n negatif tam sayı olmamalıdır,pozitif tam sayı olmalıdır.
Öncelikle;
$$(n+1)n! = (n+1)!$$ eşitliğini ele alalım.
$$n =0$$ alırsak; $1.0! = 1!=1$ olur. Bu durumda "Aynı işlem kesirli sayılarla da yapılabilir mi?" diye bir soru akla gelir.
$$n =1/2$$ alırsak;
$$(3/2)(1/2)! = (3/2)!$$ olması gerekir. Yani
$$(3/2)(1/2)! = (3/2)!$$→$(3/2)!/(1/2)! = 3/2$ olmalıdır.
$$\Gamma(n) = (n-1)!$$' olduğundan;
$$\Gamma(5/2)$$→$(3/2)!$ 'e karşılık gelmelidir(eşittir demiyoruz) ve yine
$$\Gamma(3/2)$$→$(1/2)!$ işlemine karşılık gelmelidir.
$$\begin{array}{lll} \Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \ \Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\end{array}$$
$$\Gamma(5/2)/\Gamma(3/2)=3/2$$ Bu da
$$\Gamma(5/2)/\Gamma(3/2)=3/2$$→$(3/2)!/(1/2)! = 3/2$ varsayımımızı doğrular. Denenirse diğer sayılar için de bunun doğruluğu görülebilir.
Bu çift $\Gamma(z)$ gösterim Legendre tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı z'nin gerçel kısmı (Re[z] > 0) şeklindedir. integral'i
$$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t},dt$$
Burada kısmi integrasyon kullanarak, mutlak yakınsaklık gösterilebilir.
$$\Gamma(z+1)=z , \Gamma(z) \qquad \text{(1)}$$ n ! = n · (n − 1) ! faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu fonksiyonel denklemdir.
$$\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1 \qquad\text{(2)}$$ Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor. Bütün n Doğal sayılar'ı için .
$$\Gamma(n+1) = n , \Gamma(n) = n , (n-1) , \Gamma(n-1) = \cdots = n! , \Gamma(1) = n!,$$
$\Gamma(z)$ genellemesi analitik devamlılık için gereklidir. z böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları meromorfik fonksiyon olarak tanımlar. (z. = −nbasit kutbu ile rezidü (−1)<sup> n</sup>/n !).1
0 ve negatif tam sayılar dışında bütün kompleks sayılar z için tanım sonsuz sayıda Gama fonksiyonu için, sırasıyla Euler ve Weierstrass çifti tarafından
$$\begin{align} \Gamma(z) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! ; n^z}{z ; (z+1)\cdots(z+n)} = \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}} \ \Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n} \ \end{align}$$
burada γ, Euler-Mascheroni sabiti'dir.
yukarıdaki z nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı fonksiyonel denklemi basitleştirilmiş şekli,
$$\begin{align} \Gamma(z+1) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! ; (n)^{z+1}}{(z+1) ; (z+2)\cdots(z+n+1)} \ &= \lim_{n \to \infty} \left( z ; \frac{n! ; n^z}{z ; (z+1) ; (z+2)\cdots(z+n)} ; \frac{(n)}{(z+n+1)}\right) \ &= z ; \Gamma(z) ; \lim_{n \to \infty} \frac{(n)}{(z+n+1)} \ &= z ; \Gamma(z). \ \end{align}$$
değişik bir gösterim...
$$\Gamma(z+1) = \int_0^\infty e^{-t^{1/z}},dt. ,!$$
Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları'nın terimleri içinde verilir;
$$\Gamma(z)=t^z \cdot \sum_{n=0} \frac{L_n^{(z)}(t)}{z+n}$$ , yakınsaklık için $\Re (z) < \frac{1}{2}$ olmalıdır.
Image:Complex gamma function abs.png | Mutlak değer Image:Complex gamma function Re.png | Gerçel kısım Image:Complex gamma function Im.png | Sanal kısım
Bir alternatif gösterimde Gauss tarafından girilmişti. ve bazen Pi fonksiyonu deniyor,gama fonksiyonu terimleri yardımıyla
$$\Pi(z) = \Gamma(z+1) = z \Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t} t^z,{\rm d}t,$$
böylece
her negatif olmayan n için.
$$\Pi(n) = n!,$$ Pi fonksiyonunu kullanarak yansıma formülü formunu alır
$$\Pi(z) \Pi(-z) = \frac{\pi z}{\sin( \pi z)} = \frac{1}{\operatorname{sinc}(z)}$$
burada sinc normalize sinc fonksiyonudur, eğer çarpım teoremi formu alınırsa
$$\Pi\left(\frac{z}{m}\right) , \Pi\left(\frac{z-1}{m}\right) \cdots \Pi\left(\frac{z-m+1}{m}\right) = (2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} m^{-z-\frac{1}{2}} \Pi(z).$$
ayrıca bazen
$$\pi(z) = \frac{1}{\Pi(z)},$$ bulunur.
yukardaki bir Tam fonksiyon'dur,çünkü karmaşık sayılar içinde tanımlıdır. Burada π(z) hiçbir kutuba sahip değildir, Π(z)de, Γ(z) gibi,sıfır yok idi.
ilgilenenler için, yarıçap $r_1,...,r_n$ ile bir n-ellipsoidin hacmi gösterilebilir.
$$V_n(r_1,...,r_n)=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Pi(\frac{n}{2})}\prod_{k=1}^{n}r_k$$
$$\begin{array}{lll} \Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \ \Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \ \Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \ \Gamma(1) &= 0! &= 1 \ \Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \ \Gamma(2) &= 1! &= 1 \ \Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \ \Gamma(3) &= 2! &= 2 \ \Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \ \Gamma(4) &= 3! &= 6 \ \end{array}$$
1840 yılında Raabe şunu kanıtladı,
$$\int\limits_a^{a+1}\log\Gamma(t),\mathrm dt = \tfrac12\log2\pi + a\log a - a,\quad a\ge0.$$
özel olarak, eğer $a=0$ ise
$$\int\limits_0^1\log\Gamma(t),\mathrm dt = \tfrac12\log2\pi.$$
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. *(See Chapter 6) *
Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959)
Julian Havil, ''Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003
W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)
Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.
Cephes - C and C++ language special functions math library
Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com.
Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages
Computing the Gamma function - various algorithms
Online tool to graph functions which contain the Gamma function
[http://www.docstoc.com/docs/3507375/500-Integrals-of-Elementary-and-Special-Functions, "Elementary Proofs and Derivations"]
[http://www.docstoc.com/docs/5836783/Selected-Transformations-Identities--and-Special-Values--for-the-Gamma-Function, "Transformations, Identities and Special Values"]
Orijinal kaynak: gama fonksiyonu. Creative Commons Atıf-BenzerPaylaşım Lisansı ile paylaşılmıştır.
George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman) ↩
Ne Demek sitesindeki bilgiler kullanıcılar vasıtasıyla veya otomatik oluşturulmuştur. Buradaki bilgilerin doğru olduğu garanti edilmez. Düzeltilmesi gereken bilgi olduğunu düşünüyorsanız bizimle iletişime geçiniz. Her türlü görüş, destek ve önerileriniz için iletisim@nedemek.page